تحليل آماري واژه های مشترک: تعریف آمار جمع آوری داده ها طبقه بندی آن ها ، تحلیل و تغییر اطلاعات بدست آمده را می گویند. انواع آمار 1-آمار توصیفی 2- آمار استنباطی آمار استنباطی :به کمک نمونه به قضاوت در مورد جامعه می پردازیم . آمار توصیفی:توصیف تمام واقعیت های موجود(هیچ نمونه ای دریافت نمی گردد) و تمام اعضا در این آمار شرکت دارند اهداف آمار استنباطی 1-      برآورد تعیین عدد یا مقدار برای پارامتر های مورد نظر جامعه را برآورد گویند 2-      آزمون فرضیه ها : تمام فعالیت های لازم جهت تایید یا رد فرضیه   انواع برآورد 1-      نقطه ای :تعییین یک عدد یا مقدار برای پارامتر مورد نظر جامعه 2-      فاصله ای :تعیین دو عدد یا مقدار برای پارامتر مورد نظر جامعه مثال: 119 انواع فرضیه 1-فرضیه آماری 2-فرضیه تحقیق فرضیه آماری : فرضیه هایی که با نماد ها وعلایم آماری نوشته می شود. 1-      فرضیه صفر H0 2-      فرضیه صفر H1 فرضیه تحقیق : به صورت بیان کیفی از سوی محقق بیان می شود شاخص : ویژگی ها یا صفات نمونه پارامتر:ویژگی ها یا صفات جامعه   انواع شاخص 1-   میانگین 2-      انحراف معیار S 3-      واریانس S2 4-      نسبت 5-      ضریب همبستگی φ انواع بر آورد 1-      میانگین µ 2-      انحراف معیار   3-    واريانس 4-   نسبت 5-      ضریب همبستگی فرضیه صفر H0 به این معنا که بین پارامترهای مورد نظر تفاوت معنی داری نمایش داده می شود، یعنی تفاوت پارامتر ها مساوی صفرمی شود - 0=  یعنی اگر بطور مثال دو جامعه داشته باشیم و   و  میانگین های دو جامعه باشند فرضیه صفر آن بصورت زیر می شود. H0: - 0= فرضیه خلاف 1 H : یعنی بین پارامتر های مورد نظر تفاوت معنی دار وجود دارد و به سه حالت زیر نمایش داده می شود. حالت اول:  H0:  H1:  حالت دوم:  H0:  H1:  حالت سوم:      H0:  H1:  نکته : فرضیه تحقیق از نظر نتیجه برابر با فرضیه خلاف است یعنی اگر فرضیه خلاف تایید شود فرضیه تحقیق هم تایید می شود،و بر عکس   آزمون مقایسه میانگین یک جامعه با ادعای محقق یا ادعای ثابت (عدد ثابت) برای انجام هر آزمون مراحل زیر را انجام دهید : 1-      تعیین فرضیه های صفر و خلاف 2-      تعیین نواحی قبول و رد فرضیه های صفر و خلاف 3-      مشخص کردن فرمول محاسبه 4-      مقایسه مقدار محاسبه شده و مقادیر جدول جهت تصمیم گیری های مدیریتی برای تایید یا رد فرضیه صفر   در آزمون مقایسه میانگین جامعه با ادعای محقق 2 پارامتر مورد بررسی عبارتند از µ (میانگین جامعه) و  ( ادعای محقق) باتوجه به این پارامتر سه حالت فرض های خلاف و صفر را می نویسیم   حالت اول:  H0:  H1:  حالت دوم:    H0:  H1:      حالت سوم:    H0:  H1:        در حالت اول معنای مخالف صفر آن است که آزمون دو دامنه یا بدون جهت است با توجه به توزیع Z  دو ناحیه در سمت چپ و راست برای رد   H0وجود دارد که در آن میزان خطاست قبول H0 H0 رد H0 رد -              مثال :          =  Z0.975=1.96 برای حالت دوم آزمون جهت دار یا یک دامنه است و فقط یک ناحیه به اندازه  +z1-    در سمت راست توزیع برای رد    H0 دارد. H0 رد قبول H0        برای حالت سوم آزمون جهت دار یا یک دامنه است و فقط یک ناحیه به اندازه z1-    - در سمت چپ توزیع برای رد    H0 دارد. H0 رد قبول H0                                                                                                                                                                          فرمول محاسبه در این آزمون به صورت زیر است: که در آن:                                                                     عدد ثابت n = حجم نمونه   مثال: متوسط بهره هوشی دانشجویان دانشکده بیشتر از 125 است 36 دانشجو را تصادفی انتخاب می کنیم بهره هوشی آن ها 127 و انحراف معیار آن 2.4 است در سطح خطای 5 درصد آزمون مورد نظر را انجام دهید:    H0:                                                                                                                                  H1:               H0:  Z1- =Z1-0.05=Z0.95=1.65 H0 رد قبول H0 2.529      1.64   Z=  =2.529 با توجه به این که مقدار محاسبه یعنی 2.529 بیشتر از 1.64 است با اطمینان %95 فرضیه صفر رد می شود و فرض خلاف مبنی بر اینکه میانگین استحکام لاستیک های تولیدی کارخانه بیش از 100 می باشد ، تایید می باشد. بر آورد فاصله ای میانگین یک جامعه حالت الف توزیع نرمال ، واریانس جامعه معلوم و نمونه بزرگ باشد(بیشتر از 30 باشد) توزیع از نوع    z در این حالت برای برآورد میانگین جامعه از میانگین نمونه یعنی   استفاده میکنیم به علت خطایی که در نمونه گیری صورت میگیرد هیچ گاه µ و  دقیقاً با هم برابر نمی شوند اختلاف بین آنها وجود دارد که این میزان اختلاف بین آنها وجود دارد که این میزان اختلاف را با استفاده از فرمول  + در فرمول برآورد فاصله ای میانگین اعمال می کنیم لذا بر آورد فاصله ای µ در حالت الف مطابق فرمول بالاست. حالت ب: توزیع نرمال ، واریانس جامعه و نمونه کوچک است n توزیع از نوع  t حالت ج: برای توزیع غیر نرمال و واریانس معلوم n>30 در توزیع غیر نرمال برای نمونه های کوچک از توزیعی بنام k استفاده می شود. نکته:  در مواردی که واریانس جامعه نامعلوم است در هر سه حالت فرمول برآورد فقط به جای σ ، s  قرار می دهیم. مثال : مدير بازار يابي شركت در نظر دارد متوسط  قدرت خريد كاركنان يك شهر را به طور تصادفي تعيين كند 81 نفر را انتخاب و قدرت خريد آنها را مي سنجد ميانگين و انحراف معيار به ترتيب 1800 و 10 بدست آمده است يك فاصله اطمينان 99% براي متوسط قدرت خريد كاركنان تعيين كنيد  
1802.86 مثال: 81كيسه سيمان تصادفي انتخاب كرده ايم ميانگين وزن آنها 3.5 و انحراف معيار آن 0.4 بوده است مدير كارخانه معتقد است ميانگين وزن كيسه ها از 3 كيلو گرم  كمتر است ،آيا نظر مدير درسطح خطاي 5% صحيح است؟    H0:  H1:  =Z0.95=-1.64    11.25=   با توجه به اينكه مقدار محاسبه شده بيشتر از 1.64 -  است با 95% فرضيه صفر قبول و فرضيه صفر رد مي شود.   مثال : مدير كارخانه اي مي خواهد در مورد ميزان تفاوت پر شدن شيشه هاي نوشابه اطلاعات كسب كند به طور تصادفي 8 شيشه را انتخاب مي كند كه ميانگين و انحراف معيار به ترتيب 0.4 و 0.3 است در صورتيكه توزيع پر شدن شيشه ها ي نوشابه يك بار نرمال و بار ديگر غير نرمال باشد يك فاصله اطمينان 95% براي ميانگين تفاوت پر شدن شيشه ها را محاسبه كنيد. حالت اول: حل از طريق فرمول توزيع نرمال: حالت دوم : غير نرمال   آزمون تفاضل ميانگينهاي دو جامعه الف : توزيع نرمال، واريانس جامعه معلوم و نمونه بزرگ n>30  و توزيع از نوع z  است. دو پارامتر 1µو2µ در سه حالت مقايسه مي شود حالت اول:  آزمون دو دامنه و بدون جهت و دو ناحيه در سمت راست و چپ توزيع به اندازه Z1-α/2± براي رد H0 وجود دارد و مابقي ناحيه قبولH0 است. H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2≠0   حالت دوم:  آزمون يك دامنه و جهت دارويك ناحيه در سمت راست توزيع به اندازه Z1-α براي رد H0 وجود دارد و مابقي ناحيه قبولH0 است. H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2>0   حالت سوم: آزمون جهت دار يا يك دامنه ايت يعني يك ناحيه به اندازه Z1-α- در سمت  چپ توزيه براي رد H0 وجود دارد و بقيه ناحيه قبول H0 است.   H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2 فرمول محاسبه Z: Z جدول و Z محاسبه شده جهت تصميم گيري براي رد يا قبول فرضيه صفر مقايسه مي شوند. ب: در صورتيكه توزيع نرمال ، واريانس جامعه نامعلوم و نمونه بزرگ باشد.((N>30 به جاي2 σ در فرمول بالا S2 را قرار مي دهيم. مثال: دو كتاب درسي براي درس آمار معرفي شده است ،استاد مي خواهد كتاب الف را در يك كلاس و كتاب ب را در كلاس ديگر تدريس كند و بر اساس ميانگين نمرات تصميم بگيرد كه هر دو يا يكي را معرفي كند. آزمون مناسب را با توجه به اطلاعات زير در سطح احتمال خطاي 5% انجام دهيد. S n   4.5 15.6 35 الف 3.5 15 40 ب   H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2≠0     با اطمينان 95% اطمينان فرض صفر تاييد و فرض خلاف رد مي شوديعني دو كتاب الف و ب با هم يكسان هستند   ج:آزمون برابري مقايسه تفاضل ميانگين دو جامعه با شرط برابري واريانس هاي دو جامعه در اين حالت توزيع از نوع t است.   حالت اول: H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2≠0   آزمون دو دامنه يا بدون جهت دودامنه به اندازه    در طرفين رد H0 رد H0 قبولH0             حالت دوم: H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2>0   آزمون يك دامنه جهت داريك دامنه در سمت راست به اندازه رد H0 قبولH0         حالت سوم: H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2   آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت چپ به اندازه رد H0 قبولH0           فرمول محاسبه t  در اين حالت برابر است با : روش محاسبه  واريانس: 1-      از طريق SSD        2-       از طريق Xهاي خام 3-      ازطريق ميانگين     مثال :جدول مقادير متوسط دستمزد ساعتي گروه كارگران در زير آمده است ، آيا با توجه به اطلاعات به زنان از نظر پرداخت اجحاف شده است .   S S SSD n   52 2704 856/37 375 15 مرد 51 25/2656 500/42 354 17 زن   H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2>0 1.64=Z0.95 =   Z=                                      رد H0 قبولH0 1.64   1.164 با توجه به اينكه مقدار محاسبه شده  يعني 1.14از مقدار جدول (1.64) كمتر است فرضيه صفر تاييد مي شود .بناراين فرض خلاف كه همان فرضيه تحقيق مي باشد رد مي شود يعني به زنان از نظر پرداخت اجحاف نشده است. مثال:  بيماري خاصي را مي توان بافشار خون سنجيد برا ي بررسي اين آزمون فشار خون 4 بيمار را اندازه گيري مي كنند نتايجبه صورت زير بدست آمد با توجه به  فرضيه فوق را آزمون كنيد با فرض اينكه واريانسهاي دو جامعه برابر باشند: XA: 100  120   110   140 XB: 90     92      90   94   95 S2 n     117.5 4 بيمارA   92.5 5 سالم B   H0: µ1-µ2=0 H1: µ1-µ2≠0       3.29 رد H0 قبولH0       با توجه به اينكه مقدار محاسبه شده يعني 3.29 بزرگتراز مقدار جدول يعني 2.36 مي باشد و فرضيه خلاف بيماري خاص را مي توان با فشار خون سنجيد تاييد مي شود.    تخمين يا بر آورد فاصله اي تفاضل ميانگين هاي دو جامعه: حالت اول: واريانس جامعه معلوم و توزيع نرمال از نوع z  است. حالت دوم: واريانس جامعه نا معلوم و توزيع نرمال از نوع z  است.يعني مانند فرمول قبل فقط  به  تبديل مي شود.     حالت سوم: واريانس دو  جامعه با هم برابرند  و توزيع از نوع t است.   مثال : براي مقايسه عملكرد سازمان نمونه هايي از هرجامعه انتخاب شده است ؛ از سازمان الف يك نمونه تصادفي 25 تايي و از سازمان ب نمونه هاي 20 تايي انتخاب شده است ميانگين نمونه اول 60 با انحراف معيار 10 و نمونه دوم با ميانگين 55  و انحراف معيار 12 محاسبه شده است با 99 درصد اطمينان ميانگين عملكرد دو جامعه را باهم مقايسه كنيد.                           در بررسي پارامتر هاي جامعه (در اين  مساله) سه الت ممكن است پيش آيد اگر حد بالا و حد پايين هر دو عددي مثبت محاسبه شوند مفهوم ان اين است كه ميانگين جامعه اول بزرگتر از ميانگين جامعه دوم است.در حالت دوم اگر حد پايين و بالا هردو منفي شوند به اين معني است كه ميانگين جامعه  اول كمتر از جامعه دوم است. در حالت سوم اگر حد بالا مثبت و حد پايين منفي بدست آيد به اين معني است كه بين ميانگين هاي دو جامعه تفاوت معني داري از نظر آماري وجود ندارد و اختلاف مشاهده شده ناشي از خطاي نمونه گيري است. مثال : براي مقايسه سطح آمادگي كاركنان 17 نفربه طور تصادفي انتخاب شده كه ميانگين و انحراف معيارسطح آمادگي كاركنان به ترتيب 45 و 12 استدر سازمان دوم نيز 15 نفر به طور تصادفي انتخاب شده اند كه ميانگين و انحراف معيار آن به ترتيب 55 و 14 استبا فرض برابري واريانس دو جامعه با اطمينان 90 درصد تخمين لازم را براي مقايسه ميانگينهاي دو جامعه به عمل آوريد.                                                                                                             آزمون مقايسه نسبتهاي يك جامعه  با نسبت ثابت براي اين آزمون دو نسبت  يعني نسبت جامعه و 0p  نسبت ثابت وجود دارد .     توزيع براي تمام ازمون هاي نسبت از نوع z است. مرحله اول: فرضهاي صفر و خلاف را در سه حالت براي پارامترمورد نظر مي نوسيم   حالت اول: H0: -p0 =0 H1: -p0≠0   آزمون دو دامنه يا بدون جهت دودامنه دو ناحيه براي رد H0 به اندازه    در طرفين وجود دارد رد H0 رد H0 قبولH0           حالت دوم: H0: -p0=0 H1: -p0>0   آزمون يك دامنه جهت دار يك دامنه در سمت راست توزيع به اندازه  براي رد H0 وجود دارد رد H0 قبولH0     حالت سوم: H0: -p0=0 H1: -p0   آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت چپ توزيع به اندازه  براي رد H0 وجود دارد رد H0 قبولH0           مرحله دوم: فرمول محاسبه Z  در اين حالت: كه در آن  و  و حجم نمونهn= .  مرحله سوم: جهت تاييد يا رد 0H ؛ Z جدول را با  Z محاسبه شده را مقايسه ميكنيم.   آزمون مقايسه تفاضل  نسبتهاي دو  جامعه : و پارامتر هاي نسبت جامعه اول را با  و پارامتر هاي نسبت جامعه دوم را با  نشان ميدهيم . به منظوراين آزمون با توجه به نوع پارامتر ها فرض هاي مورد نظر را مشخص مي كنيم   مرحله اول: فرضهاي صفر و خلاف را در سه حالت براي پارامترمورد نظر مي نوسيم حالت اول:   H0:  =0 H1:  ≠0   آزمون دو دامنه يا بدون جهت دودامنه دو ناحيه براي رد H0 به اندازه    در طرفين وجود دارد رد H0 رد H0 قبولH0             حالت دوم: H0: =0 H1: >0   آزمون يك دامنه جهت دار يك دامنه در سمت راست توزيع به اندازه  براي رد H0 وجود دارد   رد H0 قبولH0           حالت سوم: H0: =0 H1   آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت چپ توزيع به اندازه  براي رد H0 وجود دارد رد H0 قبولH0           مرحله دوم: فرمول محاسبه Z  در اين حالت: كه در آن  و  و .  مرحله سوم:  جهت تاييد يا رد 0H ؛ Z جدول را با  Z محاسبه شده را مقايسه ميكنيم.و فرضيه صفر تاييد يا رد مي گردد مثال در يك زمينه يابي تجارياز 96 مرد ، 24 نفر و از180 زن ، 63 نفر به نوعي خاص از يك محصول علاقه نشان داده اند .آيا اين دادها بطور منطقي از اين نتجه حمايت ميكند كه از لحاظ علاقه به نوع محصول بين دوجنس تفاوت معني داري وجود ندارد   H0:  =0 H1:  ≠0   آزمون دو دامنه يا بدون جهت دودامنه دو ناحيه براي رد H0 به اندازه    در طرفين وجود دارد  و  و   رد H0 رد H0 قبولH0             با توجه به اينكه z جدول بيشتر از z محاسبه شده مي باشد H0 قبول مي شود و تفاوت معني داري وجود ندارد.   مثال: مدرس آمار ادعا مي كند بيش از 70 درصد دانشجويان آمار مي افتند براي بررسي اين موضوع 50 دانشجو به طورتصادفي انتخاب شده اند كه 45 نفر از انها در درسآمارافتاده اند اين نظريه را در سطح اطمينان 95% بررسي كنيد.     H0: =0 H1: >0   آزمون يك دامنه جهت دار يك دامنه در سمت راست توزيع به اندازه  براي رد H0 وجود دارد   رد H0 قبولH0             با توجه به اينكه مقدار محاسبه شده 3.125 از مقدار جدول 1.64 بزرگتر است با 95 درصد اطمينان فرضيه صفر رد مي شود.به اين معني كه بيش از 70 در صد دانشجويان دردرس آمار مي افتند . مثال: براي 40نفرروش آموزش الف و براي 60 نفر روش آموزش ب استفاده شد. در شيوه الف 30نفر و در شيوه ب 57 نفر قبول شده اند آيا نرخ قبولي در شيوه ب بيشتر از شيوه الف است H0: =0 H1   آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت چپ توزيع به اندازه  براي رد H0 وجود دارد   فرمول محاسبه Z  در اين حالت: كه در آن  و  و.075   رد H0 قبولH0 -2.91     =-1.64      با توجه به اينكه مقدار محاسبه شده يعني 2.91 – از مقدار جدول يعني  1.64– كمتر است با 95 درصد اطمينان فرض صفر رد و فرض خلاف تاييد مي شود به اين معني كه نرخ قبولي در شيوه ب بيشتر از شيوه الف است. مثال: از مديران سازمانهاي دولتي 500مدير و ازمديران سازمانهاي خصوصي نمونه 400 تايي تصادفي انتخاب شده اند كه 100 نفر از مديران سازمانهاي دولتي و 50نفر از مديران سازمانهاي خصوصي داراي سبك S هستند با اطمينان 95 درصد اين فرضيه را كه مديران سازمانهاي دولتي از سبك S بيشتر استفاده مي كنند ، آزمون كنيد.     H0: =0 H1 >0   آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت راست توزيع به اندازه  براي رد H0 وجود دارد   فرمول محاسبه Z  در اين حالت: كه در آن  و  و0.20   قبولH0 +2.91 رد H0 =1.64        با توجه به اينكه مقدار محاسبه شده يعني 3.04از مقدار جدول يعني  1.64 بزرگتر است با 95 درصد اطمينان فرض صفر رد و فرض خلاف تاييد مي شود به اين معني كه مديران سازمانهاي دولتي از سبك S بيشتر استفاده مي كنند .   برآورد فاصله اي نسبت يك جامعه: با توزيع Z   نسبت  را مي خواهيم از نسبت  يا نسبتنمونه با توجه به توزيع Z تخمين بزنيم يا برآورد كنيم فرمول محاسبه به شرح زير است:     برآورد فاصله اي نسبت دو جامعه:     در حالت تفاضل نسبتها دو جامعه ممكن است مقدار حد بالا و حد پايين هر دو مثبت شوند كه به مفهوم اين است كه نسبت يا درصد جامعه اول از دوم بيشتر است. اگر هر دو منفي باشند يعني نسبت يا درصد جامعه اول ازجامعه دوم بيشتر است .و اگر حد بالا مثبت و حد پايين منفي شود يعني بين نسبت هاي دوجامعه تفاوت معني داري وجود نداردو اختلاف ناشي از خطاي نمونه گيري است. محاسبه حجم نمونه بر اساس ميانگين و نسبت جامعه: براي محاسبه حجم نمونه از روي ميانگين فرمول برآورد فاصلهاي ميانگين از فرمول برآورد فاصله اي ميانگين يك جامعه استفاده مي كنيم .در اين فرمول اختلاف µو  با ε نمايش داده مي شود كه مقدار آن برابر است با : به توان مي رسانيم:  طرفين وسطين مي كنيم:                       در نتيجه: يا : در صورتيكه به طور مستقيم انحراف معيار يا واريانس را نداشته باشيم ،اما به جاي آن دامنه تغييرات را نداشته باشيم كه آن را با      R نمايش مي دهند ، مي توان از روي آن  يا انحراف معيار و در نهايت واريانس را محاسبه كرد. محاسبه حجم نمونه بر اساس نسبت: بر اساس  فرمول برآورد فاصلهاي نسبت يك جامعه مي توان n را محاسبه كرد   مطابق اين فرمول اختلاف  و  برابر  است و مقدار مساوي فرمول زير است:   به توان مي رسانيم:                                   طرفين وسطين مي كنيم:                         در نتيجه:             يا :           در بعضي كتابها 1-p را با q  نمايش مي دهند مثال: 60 درصد مديران كشوراز سبك S برخوردارند تحليل گري براي بررسي فرضيه فوق يك نمونه 200تايي ازبين مديران انتخاب كرده نيمي از آنان ازاين سبك برخوردارند در سطح خطايي5درصد صحت فرضيه فوق را بررسي كنيد: داري وجود ندارد   H1:  ≠0   آزمون دو دامنه يا بدون جهت دودامنه دو ناحيه براي رد H0 به اندازه    در طرفين وجود دارد - رد H0 رد H0 قبولH0             با توجه به اينكه z جدول بيشتر از z محاسبه شده مي باشد H0 رد و فرض خلاف تاييد مي گردد و تفاوت معني داري وجود ندارد. مثال: در شهري به طور تصادفي 80نفر را انتخاب كردهايم 68 نفر از آنها شاغل مي باشند يك اطمينان 95درصدي براي شاغلين در اين شهر بنويسيد.     براي ساختن يك نوع قطعات يدكي از دو روش استفاده مي شود يك روش A و روش دوم چكش خواري يا B  يك نمونه با تعداد 100 از روش ش و نمونهاي به حجم 100 از روش B انتخاب شده است ضمن تست شدن 10قطعه از A و3 قطعه از B  انتخاب شده است .يك فاصله اطمينان 90 درصدبراي تفاوت نسب دوخراب براي روش A و B بدست آوريد   رد H0 قبولH0 رد H0   با توجه به اينكه دو حد بالا و پايين هر دومثبت به دست امده است بيانگر اين است كه نسبت يادرصدخرابي قطعات باروش الف بيشتر از روش ب مي باشد مثال: مطالعه ايبراي تعيين نسبت مديران وظيفه مدار در سطح سازمان هاي دولتي انجام شد، است اين تصور وجود دارد كه اين نسبت 0.45 است با اطمينان95 درصد وخطاي8 درصد چندمدير براي اين مطالعه انتخاب كنيم. مثال: محققي ميخواهد درامد كاركنان سازماني را برآوردكند اگر بخواهد بر آورد 90 درصد اطمينان داشته و خطا بيشتر از5 نباشد، در صورتيكه كمترين درامد40 و بيشترين آن 200باشد حجم نمونه انتخابي چقدر است . اگرحداكثرخطا2.5 و واريانس 100واطمينان 95 درصد باشدحجم نمونه را چهتعداد انتخاب كنيم تا اختلاف ميانگين نمونه از جامعه از2.5تجاوز نكند و اگر حجم نمونه 36 و اطمينان90 باشد واريانس نيز 100 باشد حداكثر خطا چقدر است به اين معني است كه هر چه حجم نمونه بيشتر شودخطا كمتر ميشود   مثال : محققي در نظر دارد بيندگان شبكه 3 را تعيين كند ازنمونه اي400تايي 300 نفر اين شبكه را انتخاب مي كنند يك  بر آورد فاصله اي 90% براي در صد بينندگان بنوسيد. چون برآورد خواسته شده مربوط به نسبت يك جامعه مي باشد در اين حالت توزيع z  مي باشد و از فرمول زير استفاده ميشود. n=400      x=300      مثال: مثال: از مديران سازمانهاي دولتي 500مدير و ازمديران سازمانهاي خصوصي نمونه 400 تايي تصادفي انتخاب شده اند كه 100 نفر از مديران سازمانهاي دولتي و 50نفر از مديران سازمانهاي خصوصي داراي سبك S هستند با اطمينان 95 درصد اين فرضيه را كه مديران سازمانهاي دولتي از سبك S بيشتر استفاده مي كنند ، برآورد فرضيه فوق را بررسي كنيد: n1=500   n2=400   x1=100   x2=50             چون مساله بر آورد فاصله اي نسبت هاي دو جامعه است ازفرمول زير استفاده بايد كرد.   باتوجه به اينكه درحد بالا وپايين مثبت بدست آمد به اين نتيجه ميرسيم كه درصد مديراني كه درسازمان هاي دولتي از سبك s استفاده مي كنند بيشتر از مديران خصوصي هستند. مثال: سياست يك شبكه رسانه اي يك جامعه اين است كه اگر برنامهاي نسبت شنوندگان و بينندگان آن از 0.25 كمترشود برنامه راحذف يا در محتواي آن تغييرميدهد قسمت سنجش افكارشبكه در مورد برنامهاي از 2500 نفرنظر خواهي كرد 600 نفر با ادامهبرنامهموافق بودند بر اساس اين نظر خواهي و با استفاده از آزمون فرضيه جه تصميمي در مورد برنامه موردنر خواهيم گرفت .   H0: =0 H1 آزمون جهت دار يك دامنه درسمت چپ به اندازه  زير جهت رد فرضيه صفر وجود دارد n=2500 x=600    رد H0 قبولH0 =-1.64 -1.154         با اطمينان فرضيه صفر تاييد مي شود يعني اگردرصد شنودگان يا بينندگان برنامه كمتر از 0.25 باشد برنامه حذف نمي شود يا محتواي آن تغييرنميكند.   آزمون مقايسه واريانس يك جامعه با واريانس ثابت باادعاي محقق (عدد ثابت) در اين آزمون دو يارامتر  و   با يكديگر بررسي ميشود وتوزيع مورد نظراز نوع كاي مربع (خي 2، چي2 ) يا بر اساسدو پارامتر فرض صفر و خلاف را در دو حالت مي نويسيم : حالت اول: H0: =0 H.: آزمون بدون جهت دودامنه ، توزيع  بر خلاف توزيع z , t در سمت راست موازي با خط پايه و در سمت چپ خط پايه را قطع مي كند دو ناحيه در طرفين براي رد H. وجوددارد و قاديران برابر است با: و   و H0رد  H0رد  H0قبول          حالت دوم: H0: =0 H.: آزمون جهت دار ، توزيع  يك ناحيه در طرف راست توزيع براي رد H. به اندازه  وجود دارد H0رد  H0قبول            حالت سوم: H0: =0 H.: آزمون جهت دار ، توزيع  يك ناحيه در طرف راست توزيع براي رد H. به اندازه  وجود دارد H0رد  H0قبول        فرمول محاسبه:  نيز تابع درجه آزادي استبراي استفاده از جدول فرمول با فرمول  مقدار  را محاسبه مي كنيم.   آزمون مقايسه نسبت واريانس هاي دو جامعه : واريانس جامعه اول  و واريانس جامعه دوم    نمايش داده مي شودتوزيع مورد نظر  براي واريانس هاي دو جامعه توزيع فيشر است، توزيع فيشر تابع دو درجه آزادي است كه عبارتند از    و    كه  درجه آزادي است مربوط به سطر جدول و    درجه آزادي است مربوط به ستون جدول مي باشد.بر اساس  و  سه حالت فرض را مشخص مي كنيم حالت اول: H0: =0 H.: آزمون بدون جهت دودامنه ، و مقادير آن برابر است با:   و     H0رد  H0رد  H0قبول          حالت دوم: H0: =0 H.: آزمون جهت دار ، توزيع  يك ناحيه در طرف راست توزيع براي رد H. به اندازه وجود دارد H0رد  H0قبول        حالت سوم: H0: =0 H.: آزمون جهت دار ، توزيع  يك ناحيه در طرف راست توزيع براي رد H. به اندازه  وجود دارد H0رد  H0قبول        فرمول محاسبه: بعدازبدست آوردن Z محاسبه با F  جدول(مثلا:  ) مقايسه ميكنيم . مثال كارخانه نوشابه سازي قصد دارد يك ماشيننوشابه پركني جديد خريداري كند به طوريكه واريانس مقدارنوشابه به بطري ها با ماشين قبلي يكي باشد فروشنده ماشين جديد ادعا دارد كه واريانس مقدار نوشابه ها با ماشين قديم است ، به اين منظور نمونه  اي بهحجم22 از قديم و نمونه اي به حجم 25 از ماشين جديد انتخاب شده استواريانس مقدار نوشابه ها از ماشين قديم 0.0018 و از ماشين جديد 0.0008 است آيا ميتوان ادعاي فروشنده را پذيرفت H0: =0 H.: با 99% اطمينان فرضيه صفر تاييد و فرض خلاف رد مي شود يعني واريانس مقدار نوشابه ها با استفاده از ماشين جديد كمترازماشين قديم است  . مثال: كارخانه سيمان پاكت هاي سيمان به وزن 50 كيلوگرم و واريانس 0.25 بسته بندي ميكند به نظر مي رسد واريانس وزن كيسه ها بيش از 25 درصد مي باشد نمونه اي به حجم 9 از كيسه ها انتخاب شده اند وزن آنها به ترتيب 50 ، 50.7، 49.5 ، 49.7 ، 49.4 ، 50.8 ، 50.5 ، 49.2، 50.2 آيا براساس اين نمونه مي توان گفت واريانس پيش از استاندارد است. H0: =0 H.: آزمون جهت دار ، توزيع  يك ناحيه در طرف راست توزيع براي رد H. به اندازه  وجود دارد   H0قبول    H0رد        با توجه به اينكه مقدار محاسبه 11.4 كمتر از مقدار جدول يعني 15.5 است با 95 درصد اطمينان فرضيه صفر تاييد و فرض خلاف رد مي شود يعني واريانس وزن كيسه ها بيشتر از مقدار استاندارد يعني 0.25 نمي باشد مثال : كارخانه شير مدعي است شيري كه دريافت مي كند را در پاكت هاي ا ليتري بسته بندي ميكند واريانس 0.01 است براي آزمون نمونهاي 28 تايي از پاكتها را انتخاب و واريانس آن 0.0225 است ، آزمون را در سطح اطمينان 99 درصد انجام             دهيد H0: =0 H.: آزمون بدون جهت دودامنه H0رد  60/75 H0رد  H0قبول          چون مقدار محاسبه شده بزرگتر از مقدار جدول است با 95 درصد اطمينان فرضيه صفر رد و فرضيه خلاف مبني بر اينكه پاكتهاي شير داراري واريانس 0.01 است تاييد مي شود.             برآوردفاصله ای واریانس یک جامعه دراین برآورد یاتخمین واریانس جامعه یا 2راازروی واریانس نمونه  S2    یا توزیع کای دو2χ انجام می دهیم:   جامعهσ2                                           نمونهS2 برآورد فاصله ای واریانس دو جامعه نسبت واریانس دو جامعه می باشد که از روی نسبت واریانس نمونه یعنی  با توزیع فیشر محاسبه می شود :       راست f0.95(6,10) چپ   f0.95 (10,6) هدف پراكندگي نمرات ارزش يابي كاركنان در دو سازمان است يك نمونه تصادفي 16 تايي از سازمان اول انتخاب گرديد كه ميانگين و واريانس آن به ترتيب 14 و 16 است و ميانگين و واريانس نمونه تصادفي 10تايي از كاركنان سازمان دوم به ترتيب 15 و 12 است ، در سطح اطمينان 95% ، درصد پراكندگي نمرات ارزشيابي را در دو سازمان بدست آوريد: n1= 16                                             f1-0.1/2=f.095 1 =14                                            df1 =n1 -1= 16-1=15               df2 = n2 – 1 =10 -1 =9                             (15,9)=3.01جدول f0.95 (9,15)=2.59جدول f0.95   نسبت پراكندگي يا واريانس سازمان اول به دوم حداقل 0.51 و حداكثر 4.01 است. اگر روند نرخ بهره وري منابع انساني كشوري به قرار زيز باشد با اطمينان 99 درصد واريانس بهره وري را در ان كشور محاسبه كنيد. X: 2.9, 4.5, 3.2, 1.3, 1.2, -1.3 ,0.4 , 1.4 , 2.9 ,2.9 ,2.3 , -0.2 = =26.75 آزمون زوج بندي داده ها سنجش يك عامل روي وابستگي اعضاء نمونه در آزمون زوج بندي ، اعضاء نمونه تحت تاثير يك عامل يا متغيير به هم وابسته مي شوند و براي هر يك از اعضاء نمونه 2 داده محاسبه  مي شود ، يك داده براي شرايط عادي كه در آن قراردارند و داده دوم پس از اعمال تاثير متغيير مورد بررسي در شرايط جديد مي شود ، بنابراين هر فرد يا هر عضو داراي يك زوج داده است. داده هاي سري اول را به آن كميت تصادفي نمونه در سري اول مي گويند كه آن را با T1 نشان مي دهيم و كميت تصادفي نونه سري دوم را با T2  نمايش مي دهيم ، تفاضل اين دو داده را با d  نمايش مي دهيم . با توجه به پارامترd و توزيع tسه حالت فرض صفر و خلاف را مي نويسيم: حالت اول: H0:d=0 H1: d≠0 آزمون دو دامنه بدون جهت دو ناحيه به اندازه   درطرفين براي رد H0 وجود دارد رد H0 رد H0 قبولH0             حالت دوم: H0: d=0 H1: d>0 آزمون يك دامنه جهت داريك دامنه در سمت راست به اندازه    براي رد H0 وجود دارد.   رد H0 قبولH0         حالت سوم: H0: d=0 H1: d آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت چپ به اندازه  براي رد H0 وجود دارد. رد H0 قبولH0           فرمول محاسبه t  در اين حالت برابر است با : :   براي محاسبه  sd ابتدا s2d را به قرار زير پيدا ميكنيم: درجه آزادي df=n-1 t محاسبه شده با t جدول مقايسه مي شود و تصميم گيري انجام مي شود مثال: محققي عاقمند است كه اين فرضيه را كه كارايي سازماني در شرايط استرس كمتر از شرايط عادي است را مورد آزمون قرار دهد به همين منظور نمونه اي از بين كاركنان سازمان به حجم 5 نفر به صورت تصادفي انتخاب كرده است، ابتدا كارايي را مي سنجد ، در صورتيكه اطلاعات جمع اوري شده بشرح زير باشد با يك ازمون اماري مناسب و احتمال اماري 5 درصد خطا فرضيه مورد بحث را ازمون كنيد.   H0: d=0 H1: d   آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت چپ به اندازه  براي رد H0 وجود دارد. يك جدول چها ر ستونه براي زوج داده ها مي نويسيم: d=T2 – T2 T2 T1 -1 17 18 -2 17 19 2 18 16 1 15 14 1 13 12 13 12 =0.2 = Sd=1.64 =0.27 رد H0 قبولH0     0.27     چون مقدار محاسبه شده 0.27 بزرگتر از مقدار جدول يعني 2.13 -مي باشد با 95% اطمينان فرضيه صفر تاييد و فرض خلاف رد مي شود بعبارت ديگر كارايي كاركنان در شرايط استرس كمتر نمي شود   مثال: کارایی 60 کارمند قبل و بعد از آموزش ضمن خدمت زوج بندی شده است ، رقم اول مربوط به بعداز آموزش است آیا می توان گفت کارایی کارکنان با آموزش افزایش می یابد؟ حالت دوم: H0: d=0 H1: d>0 آزمون يك دامنه جهت داريك دامنه در سمت راست به اندازه    براي رد H0 وجود دارد.   d=T2 – T2 T2 T1 6 54 48 0 52 52 4 42 38 5 45 40 3 61 58 2 37 35 2 48 46 5 50 45 6 54 48 0 52 52     = Sd=2.26 =4.64 قبولH0   رد H0     با توجه به اینکه مقدار محاسبه شده یعنی 4.64 بیشتر از مقدار جدول یعنی 2.82 است با 99 درصد اطمینان فرضیه صفر رد می شود و فرض خلاف مبنی بر اینکه آموزش باعث افزایش کارایی می شود تایید می گردد. مثال: مدیر بازاریابی شرکتی می خواهد متوسط میزان در آمد را بررسی کند.نمونه تصادفی انتخاب می کند ، میانگین درآمد  1800 محاسبه شده بیشترین درآمد را بررسی کنید . از سوی مدیر بازاریابی ادعا می کند میانگین درآمد از 1850 بیشتر است آیا با 5 درصد ادعای مدیر درست است ؟  آزمون هاي غير پارامتريك در صورتيكه مقياس از نوع فاصله اي باشد و توزيع داده ها طبيعي باشد از آزمونهاي پارامتريك مانند آنچه كه تاكنون بررسي شد استفاده مي كنيم ، اما اگر در كارهاي تحقيقاتي با فرضيه هاي كيفي روبرو شويم كه مقياس انها از نوع اسمي يا ترتيبي باشند و توزيع داده ها با هر نوع كجي باشد از آزمونهايي بنام غير پارامتريك استفاده ميكنيم. متداولترين آزمونهاي غير پارامتريك شامل موارد زير است : الف )  (چي دو – كاي اسكوير ) آزمون نيكويي برآزش در ازمون  يك متغيير بررسي مي شود و براساس دو دسته فرآواني مشاهده شده كه آن را با O نمايش مي دهيم و فرآواني مورد انتظار كه آن را با E  نمايش مي دهيم ، فرضيه صفر و خلاف را مي نويسيم ، در اين حالت فرضيه ها بايد بصورت عبارات كيفي بيان شود و از پارامتر استفاده نمي كنيم فرضيه صفر و خلاف به صورت زير نمايش داده مي شوند : H0:ببن فر آوانی مشاهده شده و فرآوانی مورد انتظار تفاوت معنی داری وجود ندارد H1:ببن فر آوانی مشاهده شده و فرآوانی مورد انتظار تفاوت معنی داری وجود دارد برای محاسبه فرآوانی مورد انتظار(فقط در این قسمت) از روی فرمول زیر استفاده می کنیم: فرمول محاسبه درآزمون 2χکای اسکویر–گروهبندی دادهای کیفی: در پایان 2χ محاسبه شده را با  جدول فقط در حالت  و درجه آزادی مقایسه می کنیم   ب)استقلال دو متغییر مقایسه می شوند و فرضیه صفر و خلاف بصورت زیر است: H0:دو متغییر همگن هستند H1:دو متغییر متغییر نیستند برای محاسبه فرآوانی مورد انتظار از فرمول زیر استفاده می شود :                                                   درجه آزادی درآزمون استقلال بصورت زیر است: وبا  جدول مقایسه می کنیم. ج)همگنی دو متغییر مقایسه می شوند و فرضیه صفر و خلاف بصورت زیر است: H0:دو متغییر یا دو صفت یا دو ویژگی همگن هستند H1: دو متغییر یا دو صفت یا دو ویژگی همگن نیستند برای محاسبه فرآوانی مورد انتظار از فرمول زیر استفاده می شود :                   درجه آزادی درآزمون همگنی بصورت زیر است: وبا  جدول مقایسه می کنیم در پایان نمونه باید ابتدا بررسی کنیم که آیا توزیع طبیعی است یا نه ، اگر طبیعی بود از آزمون پارامتریک ، اما اغلب پایان نامه ها از ناپارامتریک استفاده می کنند. مثال : نوعی کالا درپنج رنگ به فروش می رسد بازاریابی می خواهد ، میزان تقاضا برای رنگهای مختلف را مطالعه کند ، بر اساس داده های زیر توسط بازاریاب ، فرضیه یکسان بودن تقاضا برای این پنج رنگ را در سطح خطای 5% آزمون کنید. راه حل: فرضیه کیفی داریم یک متغییر هم هست پس  از آزمون  کای اسکویر استفاده می کنیم: H0:ببن فر آوانی مشاهده شده و فرآوانی مورد انتظار تفاوت معنی داری وجود ندارد H1: ببن فر آوانی مشاهده شده و فرآوانی مورد انتظار تفاوت معنی داری وجود دارد فرآوانی /رنگ قرمز آبی زرد سبز سفید o 20 30 10 40 50 e 30 30 30 30 30 3.33 0 12.33 3.33 13.33  = 9.49 33.33       با 95% اطمینان فرضیه صفر رد و فرض خلاف پذیرفته می شود،بعبارتی بین بین میزان تقاضا برای رنگها ی مختلف تفاوت معنی داری و جود دارد . مثال: کارشناسان معتقدند رشته داوطلبی داوطلبان کنکور در گروه های مختلف متاثر از جنس آنها می باشد.برای ارزیابی این ادعا نمونه ای تصادفی از دوطلبان انتخاب شدند که اطلاعات بدست آمده از آنها به صورت زیر است.آیا با این نمونه ادعای فوق در سطح خطای 5/0 قابل قبول است؟   فنی / مهندسی O  e   (o-e)2/e پزشکی O  e   (o-e)2/e تجربی O  e   (o-e)2/e انسانی O  e   (o-e)2/e رشته جنس C 1  = 230Σ 60   46   4/2 60   57.5   0.1 70   69     0.01 40      57.5        5 پسر   C 1  = 170Σ 20    34     5/2 40  42.5         50  51   0.01 60    42.5       7.2 دختر   C 1  = 400Σ C 1  = 80Σ C 1  = 100Σ C 1  = 120Σ C 1  = 100Σ       دومتغییر مستقل هستند H0: دومتغییر مستقل نیستند H1:  = df   7.81                                          با توجه به اینکه به این مقدار محاسبه شده یعنی 22.85 از مقدار جدول یعنی 7.81 بزرگتر است ، 95 درصد اطمینان فرضیه صفر رد می شود ، به عبارتی دو متغییر مستقل نمی باشد – یا انتخاب رشته تحصیلی به جنس داوطلب بستگی دارد. مثال: نموه ای از بیماران بیمارستنی جهت سنجش میزان رضایت یل عدم رضایت از مراقبهای پزشکی سوال شد . آیا می توان گفت که بیمارستان از لحاظ جلب بیماران در مراقبتهای پزشکی همگن است ؟ دومتغییر همگن هستند H0:                                                                                                                           دومتغییر همگن نیستند H1: عدم رضایت رضایت   O                         E                               O                         E                               15                    23.5                                 3.07 85                    76.5                            0.94 1 18                    23.5                                 1.28 82                     76.5                              0.39 2 29                    23.5                                 1.28 71                      76.5                             0.39 3 32                    23.5                                 3.07 68                      76.5                              0.94 4 94 306   11.36                                                                                                                         7.81                                                                   df = (4-1)(3-1)=3 تفسیر :  با توجه به اینکه محاسبه شده یعنی 11.36بزرگتر از مقدار جدول یعنی 7.81 بیشتر می باشد ، با 95 درصد اطمینان فرضیه صفر رد و فرضیه خلاف تایید می شود به عبارتی 4 بیمارستان در جلب رضایت مشتریان از لحاظ مراقبتهای پزشکی با هم یکسان نمی باشند. مثال : کارشناسان معتقد بین سبک مدیریتی و رضایت   شغلی کارکنان رابطه وجود دارد برای ارزیابی این ادعا نمونه ای تصادفی از بین کارکنان سازمان انتخاب می شود که اطلاعات زیر را در این مورد بدست آورده ایم آیا با این نمونه ادعای فوق در سطح اطمینان 95 درصد قابل قبول است؟ H0: دومتغییر مستقل هستند            عدم رضایت رضایت     O                         E                       O                         E                      146.5 68                    67.45                0.00003 78.5                    79.04            0.00002 1 93.5 42.5                   43.04              0.00003 51                      50.45             0.00004 2 240  110.5                  110.5 129.5                   129.5   دومتغییر مستقل نیستند H1:   نکته هر وقت در آزمن گروهبندی داده ها ی کیفی درجه آزادی برابر 1 باشد فرمول محاسبه تصحیح میشود که به آن تصحیح یتس می گویند: 0.00012  H0قبول                                                                                                                        3.84                                        تفسیر :  با توجه به اینکه مقدارمحاسبه شده کوچکتر از مقدار جدول می باشد ، با 95 درصد اطمینان فرضیه صفر تایید می شود و فرضیه خلاف رد می شود به عبارتی بین سبک مدیریتی و رضایت شغلی  ارتباط معنی داری وجود ندارد. ANOVA: هرگاه بخواهیم میانگین های بیشتری از 2 گروه را باهم مقایسه نماییم از تجزیه و تحلیل واریانس استفاده میکنیم.در این آزمون فقط یک فرضیه صفر و خلاف بصورت زیر وجود دارد: H0 : µ1 = µ2 = µ3= µ4….. H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3≠ µ4….. در تجزیه و تحلیل واریانس ، واریانس های زیر را مورد بررسی قرار می گیرند: 1-      واریانس بین گروهها SSB نشان می دهیم .                                 dFb =j-1 2-      واریانس بین گروهها SSw نشان می دهیم .                                 dFw =N-j 3-      واریانس بین گروهها SST نشان می دهیم .                                 dFT =N-1 سه نوع درجه آزادی با توجه به واریانس ها محاسبه می شود، متغییری که در ANOVA تجزیه و تحلیلش مورد بررسی قرار میگیرد عامل نامیده می شود و با a  نشان داده میشود. به منظور محاسبه واریانسها به جدول زیر توجه شود. a1 a12 a2 a22 a3 a32 a4 a42 …….. aj x11   x12   x13   x14   ………. x1j x21   x22   x23   x24   ………. x2j xi1   xi2   xi3   xi4   ……….. xij                 جمع داده های یک گروه یا یک ستون =    جمع توان دوم اعداد داخل گروه =      جمع جمع داده های ا سطر وj ستون =  SSW=SST-SSB ANOVA تابع توزیع فیشر است پس از محاسبه واریانس ها جدول خلاصه تجزیه و تحلیل واریانس به صورت زیر ترسیم می شود مثال:محققی می خواهد تاثیر 4 روش آموزش را بر عملکرد مورد پژوهش قرار دهد 6 نفر را تصادفی انتخاب می کند که آنها را مورد مطالعه قرار دهد، در صورتیکه اطلاعات به شرح زیر باشد ، یک آزمون آماری مناسب تعیین کنید کدام یک از روشهای مورد مطالعه تاثیر بیشتری داشته است H0 : µ1 = µ2 = µ3= µ4….. H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3≠ µ4….. a1 a12 a2 a22 a3 a32 a4 a42 1 1 2 4 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 3 9 0 0 0 0 1 1 2 4 3 5 4 6 4 4 8 18   dFb =j-1=4-1=3      dFw =N-j=16-4=12      dFT =N-1=16-1=15 F1-0.1/2= f0.95,(3 , 12)=3.49 =33- SSW=SST-SSB=10.44-3.69=6.75 f ms ss df منابع تغییرات 3.69/3=1.23 3.69 3.69 3 بین گروهها 6.75/12=0.56 6.75 6.75 12 درون گروهها   10.44 10.44 15 کل   قبول H0 -3.49 3.49 2.19 H0 رد H0 رد        با 90 درصد اصمینان فرضیه صفر تایید و فرض خلاف رد می شد " با توجه به اینکه 2.19 کمتر از مقدار جدول یعنی 3.49 است، یعنی بین میانگین ها تفاوت معنی داری وجود ندارد یا چهار روش آموزشی بر عملکرد تاثیر یکسان دارند." مثال:برای آزمون معنی دار بودن تفاوت میانگین های گروههای زیر محاسبات لازم را انجام دهیدآزمون مناسب چیست؟ 3 2 1   10 10 10 n 10.56 8.3 7.4 1263 755 649   با توجه به اینکه از دو گروه بیشتر است باید از تجزیه تحلیل ANOVA استفاده کنیم:   H0 : µ1 = µ2 = µ3 H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3     SSW=SST-SSB=368.37-53.01=315.36   f ms ss df منابع تغییرات 3.69/3=2.26 53.01/2=26.5 53.01 2 بین گروهها   6.75 315.36 27 درون گروهها     368.2 29 کل   قبول H0 -3.35 3.35 2.26 H0 رد H0 رد        با توجه به اینکه میزان محاسبه شده به میزان 2.26 از مقدار جدول یعنی 3.35 کمتر است با 90 درصد اطمینان فرضیه صفر تایید و فرض خلاف رد می شود بعبارتی بین میانگین سه گروه تفاوت معنی داری و جود ندارد. مثال: معنی دار بودن تفاوت میانگین های گروههای زیر را با یک آزمون مناسب بررسی کنید:   3 2 1   10 10 10 n 5.25 4.15 3.7 631.5 327.5 324.5   با توجه به اینکه از دو گروه بیشتر است باید از تجزیه تحلیل ANOVA استفاده کنیم:   H0 : µ1 = µ2 = µ3 H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3   SSW=SST-SSB=711.47-12.71 =698.75   f ms ss df منابع تغییرات 6.35/25.87=0.24 12.71/2 = 6.35 12.71 2 بین گروهها   698.75/7 = 25.87 698.75 27 درون گروهها     711.47 29 کل     قبول H0 -3.35 3.35 0.24 H0 رد H0 رد     با 95% اطمینان فرض خلاف رد می شود یعنی بین میانگین ها تفاوت معنی دار وجود ندارد   مثال: اگر روند نرخ توسعه اقتصادی در دو کشور به ترتیب زیر باشد ؛ با اطمینن 90 درصد واریانس توسعه را در آن دو کشور محاسبه کنید. X1:  -0.1 , 1.25 , 1.2 , 1.4 , 1.4 , 0.7 , 0.2 , 0.15 , 0.6 , 1.6 , 2.25 , 1.4 X2:  0.2 , 2.3 , 2.5 , 2.9 , 2.9 , 2.9 , 1.4 , 0.4 , 0.3 , 1.2 , 1.4 , 1.6  از آزمون  مقايسه نسبت واريانس هاي دو جامعه استفاده می کنیم H0: =0 H.: برای  دو گروه به شکل زیر واریانس را بدست می آوریم: xi2 xi1 3.36 1.22 -1.83 -1.10 1.63 1.00 -0.20 -0.10 0.45 0.06 0.67 0.25 1.63 1.00 2.30 1.25 0.76 0.04 0.87 0.20 1.63 1.00 2.50 1.20 1.61 0.16 1.27 0.40 1.63 1.00 2.90 1.40 1.61 0.16 1.27 0.40 1.63 1.00 2.90 1.40 1.61 0.09 1.27 -0.30 1.63 1.00 2.90 0.70 0.05 0.65 -0.23 -0.80 1.63 1.00 1.40 0.20 1.51 0.73 -1.23 -0.85 1.63 1.00 0.40 0.15 1.77 0.16 -1.33 -0.40 1.63 1.00 0.30 0.60 0.18 0.36 -0.43 0.60 1.63 1.00 1.20 1.60 0.05 1.55 -0.23 1.25 1.63 1.00 1.40 2.25 0.00 0.16 -0.03 0.40 1.63 1.00 1.60 1.40 12.98 5.33 0.04 0.00 Σ       1.18 0.48 s2   آزمون بدون جهت دودامنه ، و مقادير آن برابر است با:   و H0رد  H0رد   0.4H0قبول      با 90% اطمینان فرض صفر تاييد و خلاف رد می شود یعنی بین میانگین ها تفاوت معنی دار وجود ندارد آزمون همبستگی: تعریف همبستگی: همبستگی شاخصی است که به کمک آن می توان حدود تغییر یک متغییر را از روی متغییر x و y را با ضریب r نمایش می دهند (rxy) که به آن ضریب همبستگی می گویند ، مقدار این ضریب بین 1- تا 1+ است: x x x x x همبستگی کامل و مثبت همبستگی کامل و منفی همبستگی کامل و مثبت همبستگی کامل و منفی y y y y همبستگی کامل و مثبت y                             همبستگی ناقص و مثبت: y          x                                                         همبستگی ناقص و منفی: x y                                                                                                   عدم همبستگی: x y      n           برای محاسبه ضریب همبستگی یعنی rxy  مطابق فرمول زیر عمل کنیم:   تعداد داده های x وy  است که با هم برابر ند ولی باهم جمع نمی کنیم مثلا اگر هر یک 4 بودند n  میشه 4 n= ضریب همبستگی بیانگر شدت همبستگی و جهت همبستگی است ، قدر مطلق عدد شدت را نشان می دهد و علامت جهت همبستگی را نشان می دهد . با تجه به اینکه با نمونه های تصادفی سر و کار داریم ، برای تعیین دقیق شدت همبستگی باید آزمون معنی دار بودن ضریب همبستگی انجام شود. برای انجام آزمون با توجه به توزیع t ابتدا سه حالت فرضهای صفر و خلاف را می نویسیم،  r  شاخص است پارامترρ : حالت اول: H0 : ρ=0 H1 : ρ 0 آزمون دو دامنه بدون جهت دو ناحيه به اندازه   درطرفين براي رد H0 وجود دارد رد H0 رد H0 قبولH0           حالت دوم: H0 : ρ=0 H1 : ρ 0 آزمون يك دامنه جهت داريك دامنه در سمت راست به اندازه    براي رد H0 وجود دارد. قبولH0 رد H0       حالت سوم: H0 : ρ=0 H1 : ρ 0 آزمون يك دامنه جهت دار،يك ناحيه  در سمت چپ به اندازه  براي رد H0 وجود دارد. رد H0 قبولH0             فرمول محاسبه t  در اين حالت برابر است با    )  همیشه در این فرمول صفر است .): درجه آزادي df=n-2 t محاسبه شده با t جدول مقايسه مي شود و تصميم گيري انجام مي شود. مثال: در جدول زیر ابتدا ضرایب همبستگی دو متغییر را تعیین کنید و آزمون معنی دار بودن ضریب را در سطح انجام دهید: 18 x =Σ 6 2 4 2 4 x 76 x2 =Σ 36 4 16 4 16 x2 18 y =Σ 4 1 6 2 5 y 82 y2 =Σ 16 1 36 4 25 y2 74 xy =Σ 24 2 24 4 20 xy H0 : ρ=0 H1 : ρ 0 آزمون دو دامنه بدون جهت دو ناحيه به اندازه   درطرفين براي رد H0 وجود دارد رد H0 رد H0   قبولH0  1.52                 درجه آزادي df=n-2=5-2=3   با توجه اینکه مقدار محاسبه شده 1.52 کمتر از مقدار جدول یعنی 3.18 می باشد با 95 درصد اطمینان فرضیه صفر تایید و فرض خلاف رد می شود. مثال: 40 دانشجو در معرض 4 روش آموزشی قرار داده شده اند میزان یادگیری آنها اندازه گیری شد با استفاده از آمادگی مناسب تعیین کنید اختلاف معنی داری بین میانگین چهار گروه وجود دارد یا خیر؟ چون بیش از دو گروه است؛ تجزیه وتحلیل ANOVAیا یک طرفه H0 : µ1 = µ2 = µ3= µ4 H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3≠ µ4 a1 a12 a2 a22 a3 a32 a4 a42     10 100 10 100 1 1 1 1     9 81 10 100 1 1 2 4     6 36 10 100 1 1 3 9     7 49 10 100 1 1 2 4     6 36 6 36 4 4 8 18     5 25 6 36 1 1 1 1     3 9 5 25 1 1 2 4     2 4 5 25 1 1 3 9     2 4 5 25 1 1 2 4     1 1 5 25 4 4 8 18 259 51 345 72 572 79 797 57 497 2211     dFb =j-1=4-1=3      dFw =N-j=40-4=12      dFT =N-1=40-1=39 F1-0.1/2= f0.95,(3 , 36)=2.84 =2211- SSW=SST-SSB=533.98-50.48=483.5 f ms ss df منابع تغییرات 16.825/13.43=1.252 50.48 3 بین گروهها   483.5 36 درون گروهها     533.98 39 کل   قبول H0 -2.84 2.84 1.252 H0 رد H0 رد        با توجه به اینکه مقدار محاسبه شده یعنی 1.252 کمتر از مقدار جدول یعنی 2.84 است با 90 درصد اصمینان فرضیه صفر تایید و فرض خلاف رد می شود ، یعنی بین میانگین های 4 گروه  تفاوت معنی داری وجود ندارد یا چهار روش آموزشی بر عملکرد تاثیر یکسان دارند .مثال : دانشجویان دانشکده ای بر اساس سال تحصیلی طبقه بندی شده اند ؛ سال اول 30 درصد سال دوم 10 درصد سال سوم 40 درصد سال چهارم 20 درصد نمونه ای 5 نفری به صورت تصادفی انتخاب شده اند ز این تعداد 17 نفر سال اول 8 نفر سال دوم 15 نفر سال سوم 4 بودند با توجه به الفای 5 درصد آا بین نسبتهای مورد نظر تفاوت معنی داری وجود دارد. آزمون نیکویی برازش یک متغییر است چون درصد های مختلف داریم باید به نسبت درصد E بدست بیاریم : در موقع درصد باید درصد را از تعداد کل بدست بیاوریم: H0:تفاوت معنی دار وجود دارد H1:تفاوت معنی دار وجود ندارد سال چهارم سال سوم سال دوم سال اول   10 15 8 17 O E   رگرسیون: در صورتیکه دو متغییر با هم همبستگی داشته باشند از روی یک متغییر که دردسترسی است متغییر دیگر را محاسبه میکنیم . پس معادله رگرسیون یک معادله پیش بینی است و برای متغییرX,Y مانند معادله خط است ، که aعدد ثابت و b شیب خط است. Y=a+bx Y’=a+bx برای مثال اگر عادله مورد بررسی که می خواهیم آن را پیش بینی کنیم ؛ یک y یا y’ معدل دانشجویی دانشجویان باشد متغییر در دسترسی که با آن همبستگی دارد یعنی x  همان معدل دیپلم دانشجویان است . برای رگرسیون سه مرحله باید انجام شود. مرحله اول تعیین ضریب a و b مرحله دوم آزمون هر یک از ظریب a و b و محله سوم آزمون وجود همبستگي بين متغيير ها : مرحله اول: مرحله دوم: آزمون ضريب a براي آزمون ضريب a ابتدا فرض صفر و خلاف  را با توجه به توزيع t مي نوسيم H0 : H1: براي محاسبه x و sy به ترتيب زير عمل مي كنيم .براي پيدا كردن sy.x ابتدا s2y.x رابايد پيدا كنيم: به SSy.x به صورت SSE  نيز اطلاق مي گردد و همچنين SSreg نيز مي گويند: آزمون ضريب b H0 : H1: مرحله سوم: براي آزمون وجود همبستگي متغيير ها از جدول تجزيه وتحليل واريانس يكطرفه استفاده مي كنيم .توزيع از نوع فيشر است . ازجدول ANOVA استفاده ميكنيم f ms ss df منابع تغییرات SSreg K-1 رگرسيون   SSy N-K خطا   - - N-1 کل  
+ نوشته شده توسط amirhossein در 90/10/21 و ساعت |